微分方程

Differential Equation

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，描述系统从一个时刻到另一个时刻的变化情况

微分方程的阶：所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
微分方程的解：满足微分方程的函数，将此函数代入微分方程可以使得方程成为恒等式。
初值条件：用来确定任意常数的条件

graph LR
微分方程--> 常微分方程 & 偏微分方程
常微分方程ODE--> 线性常微分方程 & 非线性常微分方程 & 随机微分方程SDE
偏微分方程PDE--> 线性偏微分方程 & 非线性偏微分方程 & 随机微分方程SDE

Ordinary Differential Equation ODE

未知函数的所有导数都是关于同一变量的微分方程

Partial Differential Equations PDE

未知函数是多个变量的函数，并且包含多个变量的偏导数的微分方程

graph LR
	偏微分方程 --> 1[椭圆方程] & 2[抛物线方程] & 3[双曲方程]
	1 -->拉普拉斯方程
	2 --> 热方程
	3 --> 波方程

Stochastic Differential Equations
在经典微分方程（ODE/PDE）中引入随机性，以建模现实中的不确定性

从不同领域抽象出共性数学模型，使用微分方程解决实际问题
实际系统多是非线性系统，线性化方法“非线性 $\to$ 线性化” ，能够解决大量的实际问题

基本思路：数值计算